Qual è la differenza tra una soluzione numerica e una analitica?


Risposta 1:

Le soluzioni analitiche indicano soluzioni esatte che possono essere utilizzate per studiare il comportamento del sistema con proprietà variabili. Sfortunatamente pochissimi sistemi pratici portano a soluzioni analitiche e le soluzioni analitiche sono di utilità limitata. Ecco perché utilizziamo l'approccio numerico per rispondere da vicino al risultato pratico.

"Dato che in natura, quasi nessun problema è esattamente risolvibile, questo è il problema per cui è difficile rispetto a tutti i problemi esattamente risolvibili e ce ne sono circa tre o quattro in natura che sono già stati tutti risolti sfortunatamente, anche se i metodi numerici non possono dare qualsiasi soluzione esatta. " - Carl M. Bender

Le soluzioni numeriche sono quelle che non possono essere espresse sotto forma di espressioni matematiche complete. Ad esempio, il risultato della seguente integrazione non ha una soluzione a forma chiusa:

La risposta di Samim Ul Islam a Come dovrei integrarmi

1+cos2x\sqrt{1 + \cos^2 x}

?

l'integrazione sopra è un integrale ellittico. Dal punto di vista analitico è difficile da risolvere, ma numericamente possiamo risolvere con operazioni aritmetiche come addizione (+), sottrazione (-), moltiplicazione (×), divisione (÷) e confronto

L'analisi numerica ha una ricca riserva di metodi per trovare la risposta mediante operazioni puramente aritmetiche, quindi l'analisi numerica può risolvere problemi in cui non sono disponibili soluzioni analitiche (usando un approccio matematico) o un processo matematico molto duro. I metodi numerici sono in grado di gestire grandi sistemi di equazioni, diversi gradi di non linearità che sono comuni nella pratica ingegneristica. I metodi numerici possono gestire qualsiasi geometria fisica complicata che è spesso impossibile da risolvere analiticamente.


Risposta 2:

Per me questo è molto più facile da capire con esempi che con definizioni.

Considera questa funzione:

f(x)=x2f(x)=x^{2}

e immagina di voler conoscere il risultato di

f(x)dx.\int f(x)dx.

Quindi, in base al tuo corso di calcolo per rispondere a questo, usi il teorema fondamentale del calcolo che trovi la primitiva e la risposta è:

f(x)dx=x33\int f(x)dx=\dfrac{x^{3}}{3}

Ora immagina che la funzione sia dieci volte più complicata di questa e dopo ore di tentativi di risolverlo scopri che ogni tecnica che hai imparato nel tuo corso di calcolo è inutile (un esempio di una funzione come questa è

g(x)=ex2g(x)=e^{x^{2}}

)

Sai che c'è una risposta perché ogni funzione contigua ha un integrale, quindi cosa fai?

Bene, ecco dove vengono utilizzate le soluzioni numeriche.

Chiunque abbia seguito un corso di calcolo adeguato prima di imparare a risolvere integrali, impara cos'è un integrale. Come introduzione vedi la seguente definizione:

abf(x)dx=limn(ba)nk=1nf(a+k(ba)n) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {(b-a)}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a+k{\frac {(b-a)}{n}})}

Il calcolo di questo limite a volte è quasi impossibile, ma cosa succede se si desidera solo un certo grado di precisione (ad esempio 10 cifre), quindi è possibile fare quante più iterazioni di questa formula fino a riempire bene la risposta (anche se non è una soluzione esatta ).

La prima procedura nella mia risposta è un esempio di soluzione analitica e la seconda è un esempio di soluzione numerica.


Risposta 3:

Per me questo è molto più facile da capire con esempi che con definizioni.

Considera questa funzione:

f(x)=x2f(x)=x^{2}

e immagina di voler conoscere il risultato di

f(x)dx.\int f(x)dx.

Quindi, in base al tuo corso di calcolo per rispondere a questo, usi il teorema fondamentale del calcolo che trovi la primitiva e la risposta è:

f(x)dx=x33\int f(x)dx=\dfrac{x^{3}}{3}

Ora immagina che la funzione sia dieci volte più complicata di questa e dopo ore di tentativi di risolverlo scopri che ogni tecnica che hai imparato nel tuo corso di calcolo è inutile (un esempio di una funzione come questa è

g(x)=ex2g(x)=e^{x^{2}}

)

Sai che c'è una risposta perché ogni funzione contigua ha un integrale, quindi cosa fai?

Bene, ecco dove vengono utilizzate le soluzioni numeriche.

Chiunque abbia seguito un corso di calcolo adeguato prima di imparare a risolvere integrali, impara cos'è un integrale. Come introduzione vedi la seguente definizione:

abf(x)dx=limn(ba)nk=1nf(a+k(ba)n) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {(b-a)}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a+k{\frac {(b-a)}{n}})}

Il calcolo di questo limite a volte è quasi impossibile, ma cosa succede se si desidera solo un certo grado di precisione (ad esempio 10 cifre), quindi è possibile fare quante più iterazioni di questa formula fino a riempire bene la risposta (anche se non è una soluzione esatta ).

La prima procedura nella mia risposta è un esempio di soluzione analitica e la seconda è un esempio di soluzione numerica.