Esiste una differenza tra la comprensione delle equazioni differenziali e la capacità di risolvere equazioni differenziali?


Risposta 1:
  • Cosa significa l'equazione differenziale? Da dove proviene? Perché lo stai guardando? Come lo stai usando? Ciò include il significato di ogni variabile. Le equazioni differenziali sono importanti perché hanno così tante applicazioni. Come risolvi l'equazione differenziale (se puoi)? Questo è tutto sulle tecniche. Esistono alcuni principi generali che possono essere utilizzati per risolvere molte delle equazioni differenziali più utili. D'altra parte, molte equazioni differenziali più complicate non possono essere risolte con metodi analitici. Quando esiste una soluzione e come la trovate numericamente? Quando non esiste una soluzione analitica, potrebbe essercene ancora una. Esistono teoremi di esistenza e unicità per equazioni differenziali e ci sono metodi numerici per trovarli.

Risposta 2:

Paul Dirac sentiva di non "comprendere un'equazione differenziale" a meno che non fosse in grado di delineare la forma ampia (o le forme) che le soluzioni avrebbero potuto prendere, senza effettivamente dover ricorrere a risolverlo analiticamente o numericamente. Quindi, seguendo la prescrizione di Dirac, si cercherebbe di comprendere le basi di ciò che sta dicendo l'equazione sulla natura dei cambiamenti nei sistemi soggetti all'equazione, prima di provare a risolverlo. In alternativa, se si hanno già alcune soluzioni, si dovrebbe provare a sintetizzare una comprensione così generale da esse. È probabile che entrambi siano molto più facili da ottenere con equazioni differenziali lineari rispetto a equazioni non lineari.


Risposta 3:

Molte persone risolvono le domande di calcolo tramite algoritmo. Non hai bisogno di alcuna conoscenza per usare un algoritmo.

Parte del problema è il sistema di esame. Puoi superare un esame usando l'algoritmo senza capirli.

Il problema è che capire è molto più difficile da misurare delle risposte giuste.

Il problema è senza comprensione, è possibile applicare l'algoritmo sbagliato.

Suggerirei se davvero non capisci le cose, torna alle basi fino a quando non lo fai. Non essere mai felice di ottenere le risposte giuste. La comprensione è la matematica.

Un'altra area classica che le persone risolvono con l'algoritmo è il coseno. Prova a chiedere a qualcuno di cosa si tratta davvero e guardali dimenarsi anche se ottengono le risposte giuste.


Risposta 4:

Molte equazioni differenziali parziali che hanno soluzioni analitiche sono state comprese e possono essere risolte. Tuttavia, la maggior parte delle equazioni differenziali può essere risolta solo con metodi numerici. Invece di "comprendere le equazioni differenziali", penso che sia più importante sapere da dove provenga l'equazione.