Nella teoria quantistica, qual è la differenza tra uno stato misto appropriato e uno stato misto improprio?


Risposta 1:

Per quanto ho capito, uno stato misto appropriato è una combinazione statistica di stati puri che fanno tutti parte dell'esperimento, mentre uno stato misto improprio è dove parte del sistema non fa più parte dell'esperimento (diciamo, un raggio cosmico rimane impigliato con il tuo qubit e vola via - ciò che ti rimane è uno stato misto improprio, poiché non hai più accesso all'intero stato).

Durante la ricerca di questa domanda ho trovato questo - http: //arxiv.org/pdf/quant-ph/01 ... - che fa un'argomentazione convincente che gli stati misti adeguati sono fisicamente impossibili; hai solo stati puri e stati misti impropri.

Per quanto siano importanti per comprendere la misurazione, dovremo aspettare che qualcuno con qualche reggiseno risparmi; Sono fuori di testa. Forse Allan Steinhardt :)


Risposta 2:

La differenza tra stati misti propri e impropri è la differenza tra quelli che possono essere interpretati come derivanti dall'ignoranza dello stato puro (miscele proprie) e quelli che non possono essere interpretati in questo modo (miscele improprie). Queste miscele improprie sorgono quando si esamina un sottosistema di uno stato puro più grande.

La distinzione è sottile e non conosco un modo per spiegarlo senza un ampio uso dell'apparato degli operatori della matrice di densità. E questo è un apparato che di solito non fa parte di un primo corso di meccanica quantistica. Quindi attenzione, questo potrebbe diventare un po 'croccante.

Abbastanza scuse, cominciamo a spaccarci.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. Dove c'è incertezza su quale di un certo numero di stati puri potrebbe trovarsi. Dove il sistema è aperto (cioè, è un sottosistema di un sistema più grande).

Iniziamo introducendo operatori di densità nella prima situazione:

Ignoranza dello stato del sistema ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... o come sottosistema di uno più grande:

Considerare uno stato impigliato (uno stato di rotazione EPR / Bell per questo esempio). Questo è uno stato puro:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Quindi la matrice di densità di questo stato puro è semplicemente:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Ma ora diciamo che ci è permesso solo fare misurazioni del primo elettrone. Per capire cosa ciò darebbe, eseguiamo un'operazione chiamata traccia parziale (che è effettivamente un metodo per tracciare tutti i gradi di libertà associati alla seconda particella) e ottenere una matrice a densità ridotta che riassume tutti i possibili osservabili per la prima solo elettrone:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Come dire la differenza ...

Ecco il punto cruciale: questa matrice a densità ridotta è localmente indistinguibile dalla matrice di densità che potrei ottenere essendo completamente ignorante se il sistema fosse in uno stato puro o in uno stato puro in basso. Se assegnassi una probabilità del 50% a ciascuna possibilità, lo stato misto appropriato risultante sarebbe lo stesso:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

Perché sono importanti nella misurazione?

Possiamo vederlo applicando queste lezioni al processo di decoerenza.

In decoerenza, un sistema quantistico si impiglia nel sistema dell'apparato di misurazione e i termini di interferenza (cioè tutti quelli che non si trovano sulla diagonale della base del "puntatore" di quell'apparato di misurazione) svaniscono rapidamente (quasi a zero).

È quindi possibile prendere la traccia parziale per esaminare la matrice a densità ridotta per il sistema. E, proprio come nell'esempio sopra, questa matrice a densità ridotta è indistinguibile dalla matrice di densità preparata da qualcuno che è semplicemente ignaro dello stato del puntatore puro in cui aveva preparato il sistema.

Quindi, si potrebbe essere tentati di dire che il problema di misurazione è stato risolto! Interpretiamo semplicemente la matrice a densità ridotta come una miscela pura, cioè come la nostra ignoranza della posizione del puntatore. Possiamo quindi scoprirlo, guardando il puntatore.

Ma questo sta interpretando una miscela impropria come se fosse una miscela corretta.

O, per dirla in altro modo, sta interpretando un "e" come un "o". Tutti gli stati puri dell'indicatore sono ancora nella più grande funzione d'onda (cioè, nel sistema completo), e dobbiamo mostrare perché gli altri svaniscono (e ricordate, questa sparizione è in contraddizione con l'evoluzione unitaria). Non l'abbiamo ancora fatto.

Cosa significano le persone quando affermano che la decoerenza risolve il problema di misurazione?

Ora, se sei una persona Everettiana / molti mondi, questo ti lascia esattamente dove vuoi essere. Puoi accettare completamente che la decoerenza dia un "e", non un "o" nella matrice a densità ridotta. Le persone di Everettian / molti mondi possono prendere sul serio questa conclusione e interpretare la matrice a densità ridotta come espressione di ciò che "tu" vedi nel tuo ramo, ma accetta assolutamente che anche tutti gli altri stati di puntatore siano realizzati.

Tutti coloro che NON accettano Everett devono aggiungere un resoconto di come viene selezionato un solo stato del puntatore dalla matrice a densità ridotta (anche la scuola "zitta e calcola" deve farlo, anche se presumibilmente dice "Zitto e selezionane uno con una probabilità data dalla regola del Born. ")

Il problema è che ci sono alcune persone che sembrano sostenere seriamente che la decoerenza risolve il problema di misurazione da sola. Prendendoli in parola, ciò equivale a impegnarsi nell'interpretazione di Everett. Ma a volte è difficile capire se accettano tacitamente la visione di Everett / Many worlds o se hanno appena commesso l'errore di confondere miscele appropriate e improprie.


Risposta 3:

La differenza tra stati misti propri e impropri è la differenza tra quelli che possono essere interpretati come derivanti dall'ignoranza dello stato puro (miscele proprie) e quelli che non possono essere interpretati in questo modo (miscele improprie). Queste miscele improprie sorgono quando si esamina un sottosistema di uno stato puro più grande.

La distinzione è sottile e non conosco un modo per spiegarlo senza un ampio uso dell'apparato degli operatori della matrice di densità. E questo è un apparato che di solito non fa parte di un primo corso di meccanica quantistica. Quindi attenzione, questo potrebbe diventare un po 'croccante.

Abbastanza scuse, cominciamo a spaccarci.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. Dove c'è incertezza su quale di un certo numero di stati puri potrebbe trovarsi. Dove il sistema è aperto (cioè, è un sottosistema di un sistema più grande).

Iniziamo introducendo operatori di densità nella prima situazione:

Ignoranza dello stato del sistema ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... o come sottosistema di uno più grande:

Considerare uno stato impigliato (uno stato di rotazione EPR / Bell per questo esempio). Questo è uno stato puro:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Quindi la matrice di densità di questo stato puro è semplicemente:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Ma ora diciamo che ci è permesso solo fare misurazioni del primo elettrone. Per capire cosa ciò darebbe, eseguiamo un'operazione chiamata traccia parziale (che è effettivamente un metodo per tracciare tutti i gradi di libertà associati alla seconda particella) e ottenere una matrice a densità ridotta che riassume tutti i possibili osservabili per la prima solo elettrone:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Come dire la differenza ...

Ecco il punto cruciale: questa matrice a densità ridotta è localmente indistinguibile dalla matrice di densità che potrei ottenere essendo completamente ignorante se il sistema fosse in uno stato puro o in uno stato puro in basso. Se assegnassi una probabilità del 50% a ciascuna possibilità, lo stato misto appropriato risultante sarebbe lo stesso:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

Perché sono importanti nella misurazione?

Possiamo vederlo applicando queste lezioni al processo di decoerenza.

In decoerenza, un sistema quantistico si impiglia nel sistema dell'apparato di misurazione e i termini di interferenza (cioè tutti quelli che non si trovano sulla diagonale della base del "puntatore" di quell'apparato di misurazione) svaniscono rapidamente (quasi a zero).

È quindi possibile prendere la traccia parziale per esaminare la matrice a densità ridotta per il sistema. E, proprio come nell'esempio sopra, questa matrice a densità ridotta è indistinguibile dalla matrice di densità preparata da qualcuno che è semplicemente ignaro dello stato del puntatore puro in cui aveva preparato il sistema.

Quindi, si potrebbe essere tentati di dire che il problema di misurazione è stato risolto! Interpretiamo semplicemente la matrice a densità ridotta come una miscela pura, cioè come la nostra ignoranza della posizione del puntatore. Possiamo quindi scoprirlo, guardando il puntatore.

Ma questo sta interpretando una miscela impropria come se fosse una miscela corretta.

O, per dirla in altro modo, sta interpretando un "e" come un "o". Tutti gli stati puri dell'indicatore sono ancora nella più grande funzione d'onda (cioè, nel sistema completo), e dobbiamo mostrare perché gli altri svaniscono (e ricordate, questa sparizione è in contraddizione con l'evoluzione unitaria). Non l'abbiamo ancora fatto.

Cosa significano le persone quando affermano che la decoerenza risolve il problema di misurazione?

Ora, se sei una persona Everettiana / molti mondi, questo ti lascia esattamente dove vuoi essere. Puoi accettare completamente che la decoerenza dia un "e", non un "o" nella matrice a densità ridotta. Le persone di Everettian / molti mondi possono prendere sul serio questa conclusione e interpretare la matrice a densità ridotta come espressione di ciò che "tu" vedi nel tuo ramo, ma accetta assolutamente che anche tutti gli altri stati di puntatore siano realizzati.

Tutti coloro che NON accettano Everett devono aggiungere un resoconto di come viene selezionato un solo stato del puntatore dalla matrice a densità ridotta (anche la scuola "zitta e calcola" deve farlo, anche se presumibilmente dice "Zitto e selezionane uno con una probabilità data dalla regola del Born. ")

Il problema è che ci sono alcune persone che sembrano sostenere seriamente che la decoerenza risolve il problema di misurazione da sola. Prendendoli in parola, ciò equivale a impegnarsi nell'interpretazione di Everett. Ma a volte è difficile capire se accettano tacitamente la visione di Everett / Many worlds o se hanno appena commesso l'errore di confondere miscele appropriate e improprie.