Se la somma dei quadrati di due numeri è 80 e il quadrato della differenza tra i due numeri è 36, qual è il prodotto di due numeri?


Risposta 1:

La risposta è 22

Lascia che i due numeri siano xe y.

Le condizioni indicate sono:

  • La somma dei quadrati di due numeri è 80.x² + y² = 80 Il quadrato della differenza tra i due numeri è 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Prendi la seconda condizione e ricava un valore per x².

  • x²-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Sostituisci x² nella prima condizione con il valore derivato.

  • x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Quindi il prodotto dei due numeri (x, y) è 22.


Risposta 2:

Prima condizione:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Seconda condizione:

(ab)2=36(a-b)^2=36

Dalla seconda condizione:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Sostituzione della prima condizione:

802ab=3680-2ab=36

, riorganizzando

2ab=8036=442ab=80-36=44

Così

2ab=442ab=44

e

ab=22ab=22

.

La risposta: il prodotto è 22.

Nel caso in cui si desideri risolvere il sistema completo: la differenza è

36=6\sqrt{36}=6

e il prodotto è

2222

, così per

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Quindi, se otteniamo le soluzioni per

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

possiamo risolvere il problema.

La soluzione per

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

è

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Così

a=31+3a=\sqrt{31}+3

e

b=313b=\sqrt{31}-3

.

È facile dimostrare che questi due numeri soddisfano le condizioni della domanda e della risposta.


Risposta 3:

Prima condizione:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Sostituzione della prima condizione:

319=2231–9=22

, riorganizzando

x2+y2=80x^2+y^2=80

Così

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

e

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

Nel caso in cui si desideri risolvere il sistema completo: la differenza è

36=6\sqrt{36}=6

e il prodotto è

2222

, così per

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Quindi, se otteniamo le soluzioni per

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

possiamo risolvere il problema.

La soluzione per

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

è

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Così

a=31+3a=\sqrt{31}+3

e

b=313b=\sqrt{31}-3

.

È facile dimostrare che questi due numeri soddisfano le condizioni della domanda e della risposta.